理论力学回顾

相关知识回顾

最近搞毕业设计遇到了一些理论力学的问题，发现自己忘记的好快，所以来回顾一下。理论力学是各种力学的基础，讨论物体不失效，不变形情况下运动和力的关系

理论力学主要分为三大部分：

• 静力学：讨论静止状态下物体的受力，主要包括力的平衡，力系的简化。
• 运动学：讨论物体的运动状态，主要包括运动的描述，复合运动速度和加速度的求解。
• 动力学：讨论力和物体的关系。主要解决给定力求运动轨迹、速度。动力学求解方法有很多种，任意一种即可。

静力学

静力学内容比较少，也比较简单，其主要思想是分而治之。这一块的核心就是画受力分析图，然后根据受力分析图求解约束力。其中要注意的地方就是力和力偶的概念，还有他们的相互转化。其主要内容包括：

运动学

运动学稍微多一点，但是同样比较简单，就是公式变多了。这一块的核心是选择动点动系画运动图，然后根据对应的公式进行求解。要注意点的绝对运动、相对运动、牵连运动的概念，然后有个科氏加速度。这一块的知识在机械原理中会在此用到。其主要内容是：

动力学

这一块内容很多很杂，求解方法也有很多。主要有两派，一派是以牛顿为主导的经典力学解法，在笛卡尔坐标系下用动量动量矩动能定理求解，另一派是以拉格朗日为主导的分析力学的解法，在广义坐标系下用拉格朗日方程求解。其中，分析力学以经典力学中的达朗贝尔原理和虚位移原理作为基础，主要研究功能关系，不需要复杂的运动学求解。

在这个里面最重要的思想是守恒，还有达朗贝尔原理、虚功原理和广义坐标系。这一块也是理论力学的核心，同时，这一块的知识在材料力学中会使用到。

经典力学主要内容如下：

分析力学主要内容如下： （这里为理论力学Ⅱ的部分内容）

练习

import sympy as sym
sym.init_printing(use_latex="mathjax")

这个题目的来源是模拟 https://www.bilibili.com/video/BV17A411h7wJ 这个视频 10:33 的内容，通过这个巩固一下自己的理论力学和编程能力。这个也是 https://www.qimumu.top/2020/04/04/%e7%94%a8python%e6%9d%a5%e8%ae%a1%e7%ae%97/ 这篇文章的应用实例

已知两个物体通过一根绳子挂在一根柱子上，其中有一个物体有动能，该物体运动至最高处的状态如图所示，忽略摩擦以及柱子的直径，求其运动方程

取如图所示，m，M​为物体质量，​l，θ为有动能的物体到柱子的长度和绳子的角度，绳子总长S，易得两个物体的坐标可以表示为

对时间求导，可以得到他们的速度为

l, theta, dl, dtheta, S = sym.symbols(r'l, theta, \dot{l}, \dot{\theta}, S')
pm, pM = sym.Matrix([-l*sym.cos(theta), -l*sym.sin(theta)]), sym.Matrix([0, l-S])
dpm, dpM = sym.Matrix([-dl*sym.cos(theta) + l*dtheta*sym.sin(theta), -dl*sym.sin(theta)-l*dtheta*sym.cos(theta)]), sym.Matrix([0, dl])
pm, pM, dpm, dpM

​求解其动能和势能为

m, M , g= sym.symbols(r"m, M, g")
T = (1/2*m*dpm.T*dpm + 1/2*M*dpM.T*dpM)[0]<br>V = m*g*pm[1] + M*g*pM[1]
T, V

​L = T – V为

L = T - V
L

​由拉格朗日方程得

func_temp = sym.Matrix([[sym.diff(L, dl), sym.diff(L, l)]
[sym.diff(L, dtheta), sym.diff(L,  theta)]])
sym.simplify(func_temp)

​ddl, ddtheta = sym.symbols(r"\ddot{l}, \ddot{\theta}")
dLddl = ddl*(M + m)
dLddtheta = ddtheta*l**2*m + 2*dtheta*l*m*dl
sym.simplify(sym.Matrix([dLddl-sym.diff(L, l), dLddtheta-sym.diff(L,  theta)]))

​整理得到微分方程

取初始条件

用数值（暴力）解法可以写出迭代式

这样就可以求解出位置关于时间的函数，绘制成动画如下